Татьяна Бурашникова родилась 28 января 1903 года в деревне Чербаи Балдаевской волости Ядринского уезда (ныне - Ядринский район) в крестьянской семье. Она отличалась независимым характером, настойчивостью и целеустремленностью. Отец поощрял тягу дочери к знаниям. После окончания двуклассной и затем Ядринской школы второй ступени она в 1921 году по совету подруги поступает в военно-спортивную школу в Москве.
В конце 1922 года ее направляют в Чебоксары инструктором физкультуры. Но, посмотрев, в Чувашском центральном театре спектакль «Савcа» (по Л. Андрееву), она круто меняет свою судьбу, решает стать артисткой. Когда в том же году при русской труппе театра открывается театральная студия, в нее зачисляют и Татьяну Бурашникову. Во время учебы ее заметил организатор и художественный руководитель чувашского театра Иоаким Степанович Максимов-Кошкинский. После завершения учебы она была приглашена на работу в чувашскую тpуппу театра. Вскоре Иоакмм Степанович и Татьяна Степановна становятся мужем и женой. Они всю жизнь прожили вместе, поддерживая, подбадривая, одухотворяя, друг друга.
Татьяна Степановна Максимова — Кошкинская - выдающийся деятель чувашской национальной культуры. Внесла бесценный вклад в развитие чувашского кино и театрального искусства, участвуя в создании 7 фильмов, сыграв роли в 5 спектаклях. С 1935 года работала над переводом лучших образцов мировой литературы. Совместно с супругом она написала несколько пьес. В 1957 году стала членом Союза писателей СССР.
В 1972 году выпустила книгу воспоминаний «Дни и годы минувшие».